Question

【题目】如图，在三棱柱中，，，．

（1）证明：点在底面上的射影必在直线上；

（2）若二面角的大小为，，求与平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】分析：（1）先证明平面，可得平面平面，由面面垂直的性质定理可得点在底面上的射影必在直线上；（2）是二面角的平面角，，在平面内过点作，以为轴建系，求出的方向向量，利用向量垂直数量积为零列方程求出平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果.

详解：（1）因为，

所以平面．

所以平面平面．

过点作，则由面面垂直的性质定理可知．

又，所以重合，

所以点在底面上的射影必在直线上．

（2）是二面角的平面角，．

法一：连接，．

平面平面平面．

作．

是直线与平面所成角．

．

又，．

法二：在平面内过点作，以为轴建系．则

所以

由可以求得平面的法向量．

所以．