【题目】已知函数 ,其中
.
(1)当 时,求函数
在
处的切线方程;
(2)若函数 在定义域上有且仅有一个极值点,求实数
的取值范围.
【答案】(1) ;(2)
.
【解析】试题分析:
(1)首先利用导函数求得切线的斜率为1,然后利用点斜式可得切线方程为;
(2)求解函数的导数,然后讨论函数的性质可得实数
的取值范围是
.
试题解析:
(1)当则
又则切线的斜率
,
所以函数在
处的切线方程为
.
(2),
,则
,
令,
①若,则
,故
,函数
在
上单调递增,所以函数
在
上无极值点,故
不符题意,舍去;
②若,
,该二次函数开口向下,对称轴
,
,
所以在
上有且仅有一根
,故
,
且当时,
,
,函数
在
上单调递增;
当时,
,
,函数
在
上单调递减;
所以时,函数
在定义域上有且仅有一个极值点
,符合题意;
③若,
,该二次函数开口向上,对称轴
.
(ⅰ)若,即
,
,故
,函数
在
上单调递增,所以函数
在
上无极值点,故
不符题意,舍去;
(ⅱ)若,即
,又
,所以方程
在
上有两根
,
,故
,且
当时,
,
,函数
在
上单调递增;
当时,
,
,函数
在
上单调递减;
当时,
,
,函数
在
上单调递增;
所以函数在
上有两个不同的极值点,故
不符题意,舍去,
综上所述,实数的取值范围是
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】从某居民区随机抽取个家庭,获得第
个家庭的月收入
(单位:千元)与月储蓄
(单位:千元)的数据资料,算得
,
,
,
.
(1)求家庭的月储蓄对月收入
的线性回归方程
;
(2)判断变量与
之间是正相关还是负相关;
(3)若该居民区某家庭月收入为千元,预测该家庭的月储蓄.其中
,
为样本平均值,线性回归方程也可写为
,附:线性回归方程
中,
,
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中提到了一种名为“刍甍”的五面体(如图):面ABCD为矩形,棱EF∥AB.若此几何体中,AB=4,EF=2,△ADE和△BCF都是边长为2的等边三角形,则此几何体的表面积为( )
A.
B.
C.
D.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知数列的前
项和
满足
,数列
的前项和
满足
且
.
(1)求数列,
的通项公式;
(2)设,求数列
的前
项和
;
(3)数列中是否存在不同的三项
,
,
,使这三项恰好构成等差数列?若存在,求出
,
,
的关系;若不存在,请说明理由.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列四个命题中不正确的命题是( )
A.若,则△ABC一定是等边三角形
B.若,则△ABC一定是锐角三角形
C.若,则△ABC一定是等腰三角形
D.若,则△ABC一定是等腰三角形或直角三角形
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知函数f(x)=lnx﹣kx+k.
(Ⅰ)若f(x)≥0有唯一解,求实数k的值;
(Ⅱ)证明:当a≤1时,x(f(x)+kx﹣k)<ex﹣ax2﹣1.
(附:ln2≈0.69,ln3≈1.10, ,e2≈7.39)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分10分)选修4—4,坐标系与参数方程
已知曲线,直线
:
(
为参数).
(I)写出曲线的参数方程,直线
的普通方程;
(II)过曲线上任意一点
作与
夹角为
的直线,交
于点
,
的最大值与最小值.
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