Question

19．若不等边锐角三角形的三个内角成等差数列，则最大的边与最小的边的边长比值的取值范围为（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，3）
• C． （2，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，因为锐角△ABC三内角A、B、C的度数成等差数列得到B为60°，然后利用余弦定理表示出cosB得到一个关系式，根据三角形为锐角三角形得到a²+b²-c²＞0，把求得的关系式代入不等式即可求得最大边c与最小边a比值即m的范围．

解答 解：设三角形的三边从小到大依次为a，b，c，
因为三内角的度数成等差数列，所以2B=A+C，则A+B+C=3B=180°
故可得B=60°，根据余弦定理得：cosB=cos60°=$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$，于是b²=a²+c²-ac，
又因为△ABC为锐角三角形，故a²+b²-c²＞0，
于是2a²-ac＞0，即$\frac{c}{a}$＜2，
∵c＞a，即：$\frac{c}{a}$＞1，
则m=$\frac{c}{a}$∈（1，2）．
故选：A．

点评 此题考查学生掌握等差数列的性质及钝角三角形三边的平方关系，灵活运用余弦定理化简求值，是一道中档题．