Question

已知函数f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x-1，
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，且a=2，c=2

3

，f（

C

2

）=

1

2

，求△ABC的面积．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,两角和与差的余弦函数,三角函数的周期性及其求法

专题：解三角形

分析：（1）先利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，根据三角函数周期公式求得函数的最小正周期．
（2）根据f（

C

2

）=

1

2

求得C，进而根据正弦定理求得A，则B课得，最后判断出三角形为直角三角形，则根据面积公式即可求得答案．

解答： 解：（1）f（x）=cos（2x-

π

3

）+2sin²x-1=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x-cos2x=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
∴T=

2π

2

=π．
（2）f（

C

2

）=sin（C-

π

6

）=

1

2

，
∴C-

π

6

=

π

6

或

5π

6

，
∴C=

π

3

或π（舍去），

a

sinA

=

c

sinC

，
∴sinA=

a

c

•sinC=

2

2 3

×

3

2

=

1

2

，
∵a＜c，
∴A＜C，
∴A=

π

6

．
∴B=π-A-C=

π

2

，
∴△ABC的面积为

1

2

ac=

1

2

×2×2

3

=2

3

点评：本题主要考查了两角和公式的应用．考查了学生推理和计算能力．