Question

设函数f（x）=1-|2x-1|，x∈[0，1]．函数g（x）=f（f（x））-ax有4个零点．则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：函数零点的判定定理

专题：函数的性质及应用

分析：将函数的零点问题转化为两个函数的交点问题，可通过分类讨论的方式求出函数f（f（x））的表达式，结合数形结合一目了然．

解答： 解：①当x∈[0，

1

2

]时，
f（x）=1+2x-1=2x，
∴f（f（x））=1-|4x-1|，
当x∈[0，

1

4

]时：
f（f（x））=4x，
当x∈[

1

4

，

1

2

]时：
f（f（x））=2-4x，
②当x∈[

1

2

，1]时，
f（x）=1-（2x-1）=2-2x，
∴f（f（x））=1-|3-4x|，
x∈[

1

2

，

3

4

]时：
f（f（x））=4-4x，
x∈[

3

4

，1]时：
f（f（x））=4x-2，
令h（x）=ax，
∴g（x）的零点个数等价于f（f（x））和g（x）的交点个数，
如图示：
，
∴

4

3

＜a≤2，
故答案为：（

4

3

，2]．

点评：本题考察了函数的零点问题，渗透了分类讨论思想，数形结合思想，是一道中档题．