Question

【题目】定义域为R的函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4﹣x），且其导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，则当2＜a＜4时，有（ ）
A.f（2a）＜f（2）＜f（log2a）
B.f（2）＜f（2a）＜f（log2a）
C.
D.

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵函数f（x）对任意x∈R都有f（x）=f（4﹣x），∴函数f（x）对任意x都有f（2+x）=f（2﹣x），
∴函数f（x）的对称轴为x=2
∵导函数f′（x）满足（x﹣2）f′（x）＞0，
∴函数f（x）在（2，+∞）上单调递增，（﹣∞，2）上单调递减
∵2＜a＜4
∴4＜2a＜16
∵函数f（x）的对称轴为x=2
∴f（log2a）=f（4﹣log2a）
∵2＜a＜4，∴1＜log2a＜2
∴2＜4﹣log2a＜3
∴2＜4﹣log2a＜2a
∴f（2）＜f（4﹣log2a）＜f（2a），
∴f（2）＜f（log2a）＜f（2a），
故选C
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．