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如图,已知AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,F为抛物线的焦点,点A(x1,y1),B(x2,y2).
求证:
(1)|AB|=x1+x2+p;
(2)y1y2=-p2,x1x2=
p2
4

(3)(理科)直线的倾斜角为θ时,求弦长|AB|.
(3)(文科)当p=2,直线AB的倾斜角为
π
4
时,求弦长|AB|.
(1)证明:∵AB是过抛物线y2=2px(p>0)的焦点的弦,
∴由抛物线定义可得|AB|=x1+
p
2
+x2+
p
2
=x1+x2+p;
(2)证明:设直线AB的方程为x=my+
p
2
,代入y2=2px,可得y2-2pmy-p2=0
∴y1y2=-p2,∴x1x2=
p2
4

(3)(理科)由(2)知,y1y2=-p2,y1+y2=2pm,∴
y21
+
y22
=(y1+y22-2y1y2=4p2m2+2p2
y21
+
y22
=2p(x1+x2)=4p2m2+2p2,∴x1+x2=2pm2+p,
∴θ=90°时,m=0,∴|AB|=2p;θ≠90°时,m=
1
tanθ
,|AB|=
2p
tan2θ
+2p;
(4)(文科)由(3)(理科)知,|AB|=
2p
tan2θ
+2p=8.
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2
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2
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