Question

2．长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2a，AA₁=a，E和F分别是A₁B₁和BB₁的中点，求：
（1）EF和AD₁所成角的正弦值；
（2）AC₁和B₁C所成角的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由EF∥A₁B，AD₁∥BC₁，得∠A₁BC₁是EF和AD₁所成角，由此利用余弦定理能求出EF和AD₁所成角的正弦值．
（2）延长D₁A₁到F使A₁F=D₁A₁，则AF∥DA₁∥CB₁，从而AC₁和B₁C所成角为AF与AC₁的夹角，由此利用余弦定理能求出AC₁与B₁C所成角的余弦值．

解答 解：（1）如图1，∵EF∥A₁B，AD₁∥BC₁，
∴∠A₁BC₁是EF和AD₁所成角，
∵长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=BC=2a，AA₁=a，E和F分别是A₁B₁和BB₁的中点，
∴AD₁=$\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a=BC₁，A₁B=$\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}}$=$\sqrt{5}$a，
A₁C₁=$\sqrt{4{a}^{2}+4{a}^{2}}$=2$\sqrt{2}$a，
∴cos∠A₁BC₁=$\frac{5{a}^{2}+5{a}^{2}-8{a}^{2}}{2×5{a}^{2}}$=$\frac{1}{5}$，
∴sin∠A₁BC₁=$\sqrt{1-（\frac{1}{5}）^{2}}$=$\frac{2\sqrt{6}}{5}$．
（2）如图2，延长D₁A₁到F使A₁F=D₁A₁，则AF∥DA₁∥CB₁，
∴AC₁和B₁C所成角为AF与AC₁的夹角，即∠FAC₁（或其补角），
∵AF=B₁C=$\sqrt{5}$a，AC₁=$\sqrt{{a}^{2}+4{a}^{2}+4{a}^{2}}$=3a，
FC₁=$\sqrt{（2a）^{2}+（4a）^{2}}$=2$\sqrt{5}$a，
∴cos∠FAC₁=$\frac{5{a}^{2}+9{a}^{2}-20{a}^{2}}{2×\sqrt{5}a×3a}$=$\frac{-6}{6\sqrt{5}}$=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴AC₁与B₁C所成角的余弦值为$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查异面直线所成角的正弦值和余弦值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意余弦定理的合理运用．