Question

【题目】甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛.若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.

(1)求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；

(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和数学期望.

Answer 1

【答案】(1) (2)见解析

【解析】

（1）先确定局数以及甲的胜负情况，再分类计算，最后求概率的和，（2）先确定随机变量的取法，再分别求解对应概率，列表得分布列，最后根据数学期望公式求期望.

(1)甲在4局以内赢得比赛分三种情况：

第一种情况，比赛2局，甲胜，P1=×=；

第二种情况，比赛3局，甲胜，只能是第1局输，第2，3局胜，P2=××=；

第三种情况，比赛4局，甲胜，只能是第1局胜，第2局输，第3，4局胜，

P3=×××=；

所以甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率为P=P1+P2+P3=++=

(2)X可取2，3，4，5这四种情况：

P(X=2)=×+×=；

P(X=3)=××+××=；

P(X=4)=×××+×××=；

P(X=5)=1－P(X=2)－P(X=3)－P(X=4)=；

所以X的分布列是：

X	2	3	4	5
p

均值E(X)=2×+3×+4×+5×=.