Question

11．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a=2，且有（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC．
（Ⅰ）求角A的值；
（Ⅱ）求△ABC周长的取值范围．
．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由条件利用正弦定理可得b²+c²-bc=4．再由余弦定理可得A的值．
（Ⅱ）利用正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得周长=$2+4sin（B+\frac{π}{6}）$，由B的范围可求$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，利用正弦函数的图象和性质可求取值范围．

解答 解：（Ⅰ）（2+b）（sinA-sinB）=（c-b）sinC⇒（a+b）（a-b）=（c-b）c
化简得：b²+c²-a²=bc，
所以：$cosA=\frac{{{b^2}+{c^2}-{a^2}}}{2bc}=\frac{1}{2}$．
因为：A∈（0，π），
可得：A=$\frac{π}{3}$．
（Ⅱ）△ABC周长=a+b+c=2+2RsinB+2RsinC
=$2+\frac{a}{sinA}sinB+\frac{a}{sinB}sin（A+B）$=$2+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}（sinB+sin（{60°}+B））$
=$2+\frac{{4\sqrt{3}}}{3}（sinB+sin（{60°}+B））$=$2+4sin（B+\frac{π}{6}）$；
∵$0＜B＜\frac{2π}{3}$，
∴$\frac{π}{6}＜B+\frac{π}{6}＜\frac{5π}{6}$，$\frac{1}{2}＜sin（B+\frac{π}{6}）≤1$；
∴周长的取值范围是（4，6]．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角函数恒等变换的应用，正弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．