Question

已知点F是抛物线y²=4x的焦点，过点（2，1）的直线与抛物线相交于A，B两点
（1）若点F在直线AB上，求|AB|的值；
（2）若点P是线段AB的中点，求直线AB的方程．

Answer 1

考点：抛物线的简单性质,抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）由两点式写出直线方程，和抛物线方程联立后利用抛物线的焦点弦长公式得答案；
（2）把A，B的坐标代入抛物线方程，利用点差法求得直线斜率，由直线方程点斜式得答案．

解答： 解：（1）由y²=4x得F（1，0），则过P、F的直线方程为

y-0

1-0

=

x-1

2-1

，即y=x-1．
联立

y=x-1 y2=4x

，得x²-6x+1=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁+x₂=6．
∴|AB|=x₁+x₂+p=8；
（2）∵A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）在抛物线上，
∴y12=4x1，y22=4x2，
则（y₁-y₂）（y₁+y₂）=4（x₁-x₂），
∴kAB=

y1-y2

x1-x2

=

4

y1+y2

=

4

2

=2．
则直线AB的方程为：y-1=2（x-2），即2x-y-3=0．

点评：本题考查了抛物线的简单几何性质，考查了直线与圆锥曲线的关系，训练了点差法，是中档题．