Question

11．已知等比数列{a_n}的首项a₁=8，令b_n=log₂a_n，若数列{b_n}的前7项和最大且S₆≠S₇≠S₈，求数列{a_n}的公比q的取值范围．

Answer 1

分析 由已知得到等比数列的通项公式a_n=8q^n-1，代入b_n=log₂a_n，整理后可证数列{b_n}是以3为首项，log₂q为公差的等差数列，再由已知条件得b₇＞0，b₈＜0，由此能求出数列{a_n}的公比q的取值范围．

解答 解：由题意可知，等比数列{a_n}的公比q＞0，a₁=8，
∴数列为正项数列，
∴a_n=8q^n-1，
则b_n=log₂a_n=3+（n-1）log₂q，
b_n+1=3+nlog₂q，
∴b_n+1-b_n=log₂q，b₁=log₂8=3，
∴数列{b_n}是以3为首项，log₂q为公差的等差数列．
则b_n=3+（n-1）log₂q，
∵数列{b_n}的前n项和中S₇最大，且S₆≠S₇≠S₈，
∴b₇＞0，b₈＜0，
由b₇＞0，得：3+（7-1）log₂q＞0，
整理，得2log₂q＞-1，log₂q＞-$\frac{1}{2}$，解得q＞$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由b₈＜0，得3+（8-1）log₂q＜0，
整理，得log₂q＜-$\frac{3}{7}$，q＜$（\frac{1}{2}）^{\frac{3}{7}}$．
综上，$\frac{\sqrt{2}}{2}＜q＜（\frac{1}{2}）^{\frac{3}{7}}$．

点评 本题考查等差关系的确定，考查等比数列的公比的取值范围的求法，考查了对数的运算性质，是中档题．