Question

2．已知斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁，∠BCA=90°，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D，BA₁⊥AC₁．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BC；
（2）求斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V；
（3）求二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知条件推导出平面A₁ACC₁⊥平面ABC，BC⊥AC₁，AC₁⊥BA₁，由此能够证明AC₁⊥平面A₁BC．
（2）A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，可得A₁D为斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，求出高与底面积可得斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积V；
（3）以C为坐标原点建立空间直角坐标系，求出平面A₁AB的法向量和平面A₁BC的法向量，利用向量法能求出二面角A-A₁B-C的余弦值

解答 （1）证明：∵A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴平面A₁ACC₁⊥平面ABC，
∵BC⊥AC且平面A₁ACC₁∩平面ABC=AC，
∴BC⊥平面A₁ACC₁，
∴BC⊥AC₁，
∵AC₁⊥BA₁且BC∩BA₁=B，
∴AC₁⊥平面A₁BC．
（2）解：由（1）知，AC₁⊥A₁C，可得AA₁=AC，
∵A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴AA₁=A₁C，
∴△AA₁C是等边三角形，
∴A₁D=$\sqrt{3}$，
∵A₁在底面ABC上的射影为AC的中点D，
∴A₁D为斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的高，
∵∠BCA=90°，AC=BC=2，
∴斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面积为$\frac{1}{2}×2×2$=2，
∴斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积为2$\sqrt{3}$；
（3）解：如图所示，以C为坐标原点建立空间直角坐标系，
∵AC₁⊥平面A1BC，
∴AC₁⊥A₁C，
∴四边形A₁ACC₁是菱形，
∵D是AC的中点，
∴∠A₁AD=60°，
∴A（2，0，0），A₁（1，0，$\sqrt{3}$），B（0，2，0），
C₁（-1，0，$\sqrt{3}$），C（0，0，0），B₁（0，2，$\sqrt{3}$），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}A}$=（1，0，-$\sqrt{3}$），$\overrightarrow{AB}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{C{B}_{1}}$=（0，2，$\sqrt{3}$），
设平面A₁AB的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
∴$\left\{\begin{array}{l}{x-\sqrt{3}z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，
令z=1，∴$\overrightarrow{n}$=（$\sqrt{3}$，$\sqrt{3}$，1），
∴设CB₁与平面A₁AB所成角为θ，
平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{A{C}_{1}}$=（-3，0，$\sqrt{3}$），
∴cos＜$\overrightarrow{A{C}_{1}}，\overrightarrow{n}$＞=$\frac{-3\sqrt{3}+\sqrt{3}}{\sqrt{7}×\sqrt{12}}$=-$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
设二面角A-A₁B-C的平面角为α，α为锐角，
∴cosα=$\frac{\sqrt{7}}{7}$，
∴二面角A-A₁B-C的余弦值为$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的证明，考查斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁的体积的求法，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用．