Question

15．已知θ是锐角，当$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$取得最小值时，sinθ=（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． $\frac{\sqrt{6}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{5}}{5}$
• D． $\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Answer 1

分析 原式变形后，利用多项式乘以多项式法则计算，利用基本不等式求出取得最小值时sinθ的值即可．

解答 解：$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$=（$\frac{1}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4}{co{s}^{2}θ}$）（sin²θ+cos²θ）=5+$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$+$\frac{4si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$≥5+2$\sqrt{4}$=9，
当且仅当$\frac{co{s}^{2}θ}{si{n}^{2}θ}$=4×$\frac{si{n}^{2}θ}{co{s}^{2}θ}$，即cos⁴θ=4sin⁴θ时，取等号，
∵θ为锐角，∴sinθ＞0，cosθ＞0，
此时sin²θ=$\frac{1}{3}$，即sinθ=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
故选：A．

点评 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及基本不等式的应用，熟练掌握基本不等式是解本题的关键．