Question

1．已知线段AB过点M（m，0）（m＞0），点A、B到x轴的距离之积为4m，抛物线C以x轴为对称轴且经过O、A、B三点．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若m=4，求证：OA⊥OB．

Answer 1

分析 （1）如图所示，设抛物线C的方程为：y²=2px（p＞0），直线AB的方程为ty+m=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程可得根与系数的关系，即可得出．
（2）由（1）可得：直线AB的方程为ty+4=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，只要证明$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=0即可．

解答 （1）解：如图所示，
设抛物线C的方程为：y²=2px（p＞0），直线AB的方程为ty+m=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty+m=x}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$，化为y²-2pty-2pm=0，
∴y₁y₂=-2pm，
∴|-2pm|=4m，m＞0，p＞0，解得p=2．
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（2）证明：由（1）可得：直线AB的方程为ty+4=x，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{ty+4=x}\\{{y}^{2}=4x}\end{array}\right.$，化为y²-4ty-16=0，
∴y₁+y₂=4t，y₁y₂=-16．
x₁x₂=（ty₁+4）（ty₂+4）=t²y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16，
∴$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}$=x₁x₂+y₁y₂=（t²+1）y₁y₂+4t（y₁+y₂）+16=-16（t²+1）+16t²+16=0，
∴OA⊥OB．

点评 本题考查了抛物线的标准及其性质、直线与抛物线相交问题转化为方程联立可得根与系数的关系、向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．