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(2010•湖北模拟)已知函数F(x)=-
1
4
x4+ax3+
a2+5a-2
2
x2+b
.(a,b为常数)
(Ⅰ)当a=1时,F(x)=0有两个不相等的实根,求b的取值范围;
(Ⅱ)若F(x)有三个不同的极值点0,x1,x2.a为何值时,能使函数F(x)在x1(或者x2)处取得的极值为b?
(Ⅲ)若对任意的a∈[-1,0],不等式F(x)≥-8在[-2,2]上恒成立,求b的取值范围.
分析:(Ⅰ)当a=1时,F(x)=0有两个不相等的实根,即函数F(x)的图象与x轴有两个交点,对函数F(x)求导,研究其单调性,得出其图象变化规律及函数的极值,判断出图象与x轴有两个交点的情况极小值大于0即可.
(2)能使函数F(x)在x1(或者x2)处取得的极值为b,由于极值F(0)=b,由此说明F(x)=b有两个等根,且x=0必为函数的极大值点,由这两个条件转化出等价的条件,求解即可.
(3)对任意的a∈[-1,0],不等式F(x)≥-8在[-2,2]上恒成立,故依据单调性判断出函数的最小值,令最小值大于等于-8即可解出参数b的取值范围.
解答:解:F′(x)=-x3+3ax2+(a2+5a-2)x
(Ⅰ)当a=1时,F′(x)=-x3+3x2+4x=-x(x-4)(x+1)
令F′(x)>0解得x<-1或0<x<4,令F′(x)<0解得-1<x<0或x>4
故函数在区间(-∞,-1)与(0,4)上是增函数,在(-1,0)与(4,+∞)上是减函数
故函数在x=-1时与x=4时取到极大值,在x=0时取到极小值,
故F(-1)=
3
4
+b
,F(4)=32+b,F(0)=b
∵F(x)=0有两个不相等的实根,∴b>0或者
3
4
<b<32

(II)由(Ⅰ)知F(0)=b,由F′(x)=-x3+3ax2+(a2+5a-2)x,故x=0为其一个极值点,若欲使得另两个极值点中的一个的极值也是b,则x=0必为其一个极大值点,且另外一个极值点处的函数值也为b,由F′(x)=-x3+3ax2+(a2+5a-2)x=-x[x2-3ax-(a2+5a-2)]=0,x1,x2.必同号,即a2+5a-2<0   ①
令F(x)=F(0)=b,则(-
1
4
x2+ax +
a2+5a-2
2
)x2
=0必有两根,且其一根为0故-
1
4
x2+ax +
a2+5a-2
2
=0仅有一根
故△=a2+
a2+5a-2
2
=0,即3a2+5a-2=0解得a=-2或a=
1
3
  代入①验证知,a=-2或a=
1
3
 符合题意
故当a=-2或a=
1
3
 时,能使函数F(x)在x1(或者x2)处取得的极值为b
(III)∵F′(x)=-x3+3ax2+(a2+5a-2)x=-x[x2-3ax-(a2+5a-2)],显然x=0是其一根
令F′(x)=0的另两根为x1,x2,且x1≤x2
∴x1+x2=3a,x1x2=-(a2+5a-2)
∵a∈[-1,0],
∴x1+x2=3a<0,x1x2=-(a2+5a-2)>0
∴x1≤x2<0
∵不等式F(x)≥-8在[-2,2]上恒成立,接合上证知
函数F(x)=-
1
4
x4+ax3+
a2+5a-2
2
x2+b
在[-2,2]上的最小值为F(2)=-4+8a+2a2+10a-4+b
代入不等式F(x)≥-8得8a+2a2+10a+b≥0,即b≥-2a2-18a,
由于a∈[-1,0],
∴-2a2-18a≤16
故b≥16
点评:本题考点是研究函数的极值,是函数单调性的综合应用题,利用导数研究函数的单调性,再由函数的图象变化规律确定函数的极值与最值,利用函数的图象特征将题设的条件等价转化,本题综合性较强,难度很大,解题时要注意题设条件的转化方向,此是正确解答本题的关键.
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