Question

如图，四边形ABCD与BDEF 均为菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求证：FC∥平面EAD；
（2）求证：平面BDEF⊥平面ABCD；
（3）若AB=2，求三棱锥C-AEF的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由菱形性质得AD∥BC，DE∥BF，从而平面FBC∥平面EAD，由此能证明FC∥平面EAD．
（2）由已知得△DBF为等边三角形，从而FO⊥BD，又FA=FC，从而FO⊥AC，由此能证明平面BDEF⊥平面ABCD．
（3）由EF⊥平面AFC，根据V_C-AEF=V_E-AFC，利用等积法能求出三棱锥C-AEF的体积．

解答： （1）证明：∵四边形ABCD与BDEF均为菱形，
∴AD∥BC，DE∥BF，
∴平面FBC∥平面EAD，
又FC?平面FBC，∴FC∥平面EAD．
（2）解：∵四边形BDEF为菱形，且∠DBF=60°，
∴△DBF为等边三角形，
∵O为BD中点，∴FO⊥BD，又FA=FC，
∴FO⊥AC，故FO⊥平面ABCD，
∴平面BDEF⊥平面ABCD．
（3）解：∵EF⊥平面AFC，
∴点E到平面AFC的距离为2，
∴V_C-AEF=V_E-AFC=

1

3

×

6

2

×

6

×2=2．

点评：本题考查直线与平面平行的证明，考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，解题时要注意线面关系、面面关系、菱形、等边三角形性质的合理运用．