Question

已知公比大于1的等比数列{a_n}中，a₂=2且6是a₁+3与a₃+4的等差中项，
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{b_n}满足b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，求数列{b_n}的通项公式．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列与等比数列的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
（II）利用递推关系即可得出．

解答： 解：（I）公比q大于1的等比数列{a_n}中，a₂=2且6是a₁+3与a₃+4的等差中项，
∴a₁q=2，12=a1+3+a1q2+4，q＞1．
解得

a1=1 q=2

，
∴an=2n-1．
（II）∵b₁+2b₂+3b₃+…+nb_n=a_n，
∴当n≥2时，b₁+2b₂+3b₃+…+（n-1）b_n-1=a_n-1，
∴nb_n=a_n-a_n-1=2^n-1-2^n-2，
∴bn=

2n-2

n

．
当n=1时，b₁=a₁=1，
∴数列{b_n}的通项公式bn=

1，n=1 2n-2 n ，n≥2

．

点评：本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、递推关系，考查了计算能力，属于基础题．