Question

函数f（x）的定义域为[0，1]，f（0）=f（1），且对任意不同的x₁，x₂都有|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，求证：|f（x₂）-f（x₁）|≤

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Answer 1

考点：函数单调性的判断与证明

专题：证明题,函数的性质及应用,不等式

分析：根据题意，先证明f（x）在定义域上的极大值和极小值差的绝对值小于

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，再证明|f（x₂）-f（x₁）|小于或等于

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解答： 证明：∵函数f（x）的定义域为[0，1]，对任意不同的x₁，x₂，
都有|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|成立，
不妨设x=m时，f（m）为最大值；x=n时，f（n）为最小值，（其中0＜m＜1，0＜n＜1）
当m＜n时，∵|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，
∴f（m）-f（0）＜m①，
f（m）-f（n）＜n-m②，
f（1）-f（n）＜1-n③，
①+②+③得：2f（m）-2f（n）+f（1）-f（0）＜1；
又f（0）=f（1），
∴|f（m）-f（n）|＜

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；
当n＜m时，∵|f（x₂）-f（x₁）|＜|x₂-x₁|，
∴f（0）-f（n）＜n④，
f（m）-f（n）＜m-n⑤，
f（m）-f（1）＜1-m⑥，
④+⑤+⑥得：2f（m）-2f（n）+f（0）-f（1）＜1，
又f（0）=f（1），
∴|f（m）-f（n）|＜

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2

；
对于f（0）和f（1）为极大值或极小值时，不妨设x=m时，f（m）为最小值或极大值，
同理可得，|f（m）-f（1）|＜

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；
∴f（x）的极大值和极小值差的绝对值小于

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，
又|f（x₂）-f（x₁）|小于或等于极大值和极小值差的绝对值；
∴|f（x₁）-f（x₂）|≤

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点评：本题考查了绝对值不等式|A-B|≤|A|+|B|的应用问题，也考查了分类讨论思想的应用问题，是综合性题目．