Question

如图，在正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁中，M，N分别为正方形ABCD和AA₁B₁B的重心．
（1）求证：AC₁⊥平面A₁BD
（2）求

D1M

与

CN

夹角的余弦值．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,异面直线及其所成的角

专题：空间位置关系与距离,空间角

分析：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，由

AC1

•

DA1

=0，

AC1

•

DB

=0，能证明AC₁⊥平面A₁BD．
（2）由已知得M（1，1，0），N（2，1，1），从而

D1M

=（1，1，-2），

CN

=（2，-1，1），由此利用向量法能求出

D1M

与

CN

夹角的余弦值．

解答： （1）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，
DD₁为z轴，建立空间直角坐标系，
设正方形ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱长为2，
A（2，0，0），C₁（0，2，2），
A₁（2，0，2），B（2，2，0），
D（0，0，0），

AC1

=（-2，2，2），

DA1

=（2，0，2），

DB

=（2，2，0），
∴

AC1

•

DA1

=0，

AC1

•

DB

=0，
∴AC₁⊥DA₁，AC₁⊥DB，
又DA₁∩DB=D，
∴AC₁⊥平面A₁BD．
（2）解：∵M，N分别为正方形ABCD和AA₁B₁B的重心，
∴M（1，1，0），N（2，1，1），
又D₁（0，0，2），C（0，2，0），
∴

D1M

=（1，1，-2），

CN

=（2，-1，1），
∴cos＜

D1M

，

CN

＞=

D1M • CN

| D1M |•| CN |

=

2-1-2

6 • 6

=-

1

6

．
∴

D1M

与

CN

夹角的余弦值为-

1

6

．

点评：本题考查直线与平面垂直的证明，考查两向量夹角余弦值的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．