Question

已知直线l的参数方程为

x=1+2t y= 1 2 -t

，曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=sinθ

，设直线l与曲线C交于两点A，B．
（1）求|AB|；
（2）设P为曲线C上的一点，当△ABP的面积取最大值时，求点P的坐标．

Answer 1

考点：椭圆的参数方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：综合题,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）参数方程化为普通方程，再联立求出A，B的坐标，即可求|AB|；
（2）△ABP的面积取最大值时，P到AB的距离最大，利用参数法可求．

解答： 解：（1）直线l的参数方程为

x=1+2t y= 1 2 -t

可化为x+2y=2，曲线C的参数方程为

x=2cosθ y=sinθ

，可化为

x2

4

+y2=1
两方程联立，可得y²-y=0，∴y=0或1，
∴A（2，0），B（0，1），
∴|AB|

5

；
（2）设P（2cosθ，sinθ），则
P到AB的距离为

|2cosθ+2sinθ-2|

5

=

|2 2 sin(θ+ π 4 )-2|

5

∴sin(θ+

π

4

)=1，即θ=

3π

4

时d最大，即△ABP的面积取最大值，点P的坐标为（-

2

，-

2

2

）．

点评：本题考查参数方程与普通方程的互化，考查学生的计算能力，比较基础．