Question

如图，已知PA⊥矩形ABCD所在的平面，E，F分别为AB，PC的中点，
（1）证明：EF∥平面PAD；
（2）若PA=AD，求证：EF⊥平面PCD．

Answer 1

考点：直线与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：证明题,空间位置关系与距离

分析：（1）取PD的中点H，连结AH，FH，证明FH

∥

.

EA，可证四边形EAHF是平行四边形，从而可得EF∥AH，由于AH?平面PAD，EF?平面PAD，即可证明EF∥平面PAD．
（2）先证明AH⊥PD，由题意再证明CD⊥平面PAD，可得AH⊥CD，即证明AH⊥平面PCD，又EF∥AH，即可证明EF⊥平面PCD．

解答： （本题满分14分）
证明：（1）如图，取PD的中点H，连结AH，FH，
∵F是PC的中点，∴FH

∥

.

1

2

CD，
又四边形ABCD是矩形且E为BA的中点，
∴EA

∥

.

1

2

CD，
∴FH

∥

.

EA，即四边形EAHF是平行四边形．
∴EF∥AH，由于AH?平面PAD，EF?平面PAD．
∴EF∥平面PAD．
（2）∵PA⊥平面ABCD，PA=AD，
∴△PAD是等腰直角三角形，故AH⊥PD，
由题意，CD⊥AD，CD⊥PA，且AD∩PA=A，
∴CD⊥平面PAD，故AH⊥CD．
又∵PD∩CD=D
∴AH⊥平面PCD，又EF∥AH，
∴EF⊥平面PCD．

点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，直线与平面平行的判定，属于基本知识的考查．