Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F₁，F₂，过F₁作圆：x²+y²=

a2

4

的切线，切点为E，延长F₁E交双曲线右支于点P，若|OP|=

1

2

|F₁F₂|（O为坐标原点），则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由切线的性质可得OE⊥PF₁，|OP|=

1

2

|F₁F₂|=c=|OF₁|，则E为PF₁的中点，运用中位线定理可得|PF₂|=a，再由双曲线定义可得|PF₁|=3a，再由勾股定理和离心率公式计算即可得到．

解答： 解：∵|OF|=c，|OE|=

a

2

，
由于OE⊥PF₁，|OP|=

1

2

|F₁F₂|=c=|OF₁|，
则E为PF₁的中点，
|PF₂|=2|OE|=a，
由双曲线的定义可得|PF₁|=|PF₂|+2a=3a，
由于OE∥PF₂，
则PF₁⊥PF₂，
则|PF₁|²+|PF₂|²=|F₁F₂|²，
即为9a²+a²=4c²，即10a²=4c²，
则e²=

c2

a2

=

10

4

，
即有e=

10

2

．
故答案为：

10

2

．

点评：本题考查双曲线的定义、方程和性质及应用，考查中位线定理和切线的性质，考查运算能力，属于中档题．