Question

在面积为2的等腰直角△ABC中，E，F分别为直角边AB，AC的中点，点P在线段EF上，则

PB

•

PC

的最小值为

 

．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算

专题：计算题,函数的性质及应用,平面向量及应用

分析：由面积为2，求得腰长为2，以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x，y轴建立坐标系．求得B，C，E，F的坐标，设P的坐标，由向量的数量积的坐标表示，结合二次函数的最值，配方即可得到最小值．

解答： 解：等腰直角△ABC的面积为2，则

1

2

AB²=2，则AB=2，
以A为坐标原点，AB，AC所在直线为x，y轴建立坐标系．
即有B（2，0），C（0，2），
E，F分别为直角边AB，AC的中点，
则E（1，0），F（0，1），
设P（m，n），且m+n=1，
则

PB

=（2-m，-n），

PC

=（-m，2-n），

PB

•

PC

=-m（2-m）-n（2-n）=m²+n²-2m-2n
=（m+n）²-2mn-2（m+n）=1-2mn-2=-1-2mn
=-1-2m（1-m）=-1+2（m-

1

2

）²-

1

2

≥-

3

2

，
当且仅当m=

1

2

时，取得最小值，且为-

3

2

．
故答案为：-

3

2

．

点评：本题考查平面向量的数量积的坐标表示，考查二次函数的最值，考查运算能力，属于中档题．