Question

给出下列四个命题：
①不等式（m-1）x²-（1-m）x+m＞0对任意实数x都成立，则实数m的范围是m＞1；
②如果实数x，y满足（x-2）²+y²=3，则

y

x

的最大值为

3

；
③等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₃＞0，S₁₄＜0，则S₇为S_n的最大值；
④若0＜x＜

1

2

，则x

1-4x2

的最大值是

1

4

．
其中正确的命题序号是

 

（把所有正确命题的序号都填上）

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：计算题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用

分析：对m讨论，分m=1，m＞1且判别式小于0，解不等式即可判断①；
运用换元法，再由二次方程有实根的条件，即可判断②；
运用等差数列的求和公式和单调性，即可判断③；
运用基本不等式，注意二次项的系数，即可判断④．

解答： 解：对于①，不等式（m-1）x²-（1-m）x+m＞0对任意实数x都成立，则m=1时，1＞0恒成立；
当m＞1，且判别式（1-m）²-4m（m-1）＜0，解得m＞1，则m的范围是[1，+∞），则①错；
对于②，如果实数x，y满足（x-2）²+y²=3，令

y

x

=k，则y=kx，（1+k²）x²-4x+1=0，
由判别式△=16-4（1+k²）≥0，解得-

3

≤k≤

3

，则k的最大值为

3

．则②对；
对于③，等差数列{a_n}的前n项和为S_n，若S₁₃＞0，S₁₄＜0，则

1

2

（a₁+a₁₃）•13＞0，即有a₇＞0，
S₁₄＜0，即为

1

2

（a₁+a₁₄）•14＜0，即为a₇+a₈＜0，即有a₈＜0，则有公差小于0，即有前7项均为正数，
第8项起均为负的，则S₇为S_n的最大值，则③对；
对于④，若0＜x＜

1

2

，则x

1-4x2

=

1

2

4x2(1-4x2)

≤

1

2

( 4x2+1-4x2 2 )2

=

1

4

，
当且仅当4x²=1-4x²，即x=

2

4

＜

1

2

，取得最大值

1

4

．则④对．
故答案为：②③④．

点评：本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的求和和性质的运用以及单调性的运用，考查基本不等式的运用：求最值，考查二次方程实根的判断，属于基础题和易错题．