Question

已知抛物线C：y²=2px的焦点为F，且过点（1，2），过F的直线l交抛物线C于A，B两点，直线AO，BO分别与直线m：x=-2相交于M，N两点．
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）证明△ABO与△MNO的面积之比为定值．

Answer 1

考点：抛物线的标准方程

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）根据抛物线过定点的坐标，求得P，则抛物线方程可求；
（Ⅱ）根据直线l与x轴是否垂直，分两种情况求解△ABO与△MNO的面积之比，验证即可．

解答： （Ⅰ）解：由抛物线C：y²=2px过点（1，2），可知
4=2p，p=2，
∴抛物线C的方程为y²=4x；
（Ⅱ）证明：当直线l垂直于x轴时，△ABO与△MNO相似，
∴

S△ABO

SOMN

=(

|OF|

2

)2=

1

4

；
当直线l与x轴不垂直时，设直线AB方程为y=k（x-1），
设M（-2，y_M），N（-2，y_N），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y=k(x-1) y2=4x

，整理得：k²x²-（4+2k²）x+k²=0，
∵∠AOB=∠MON，
∴x₁•x₂=1．∴

S△ABO

S△MNO

=

1 2 AO•BO•sin∠AOB

1 2 MO•NO•sin∠MON

=

AO

MO

•

BO

NO

=

x1

2

•

x2

2

=

1

4

．
综上，

S△ABO

S△MNO

=

1

4

．
∴△ABO与△MNO的面积之比为定值．

点评：本题考查抛物线的标准方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的关系，体现了分类讨论的数学思想方法，是中档题．