Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，且对任意n∈N^*，有4a_n-3S_n=

1

3

（2²ⁿ⁺¹+1），
（1）求{

an

4n

}的通项公式；
（2）求数列{

an

2n-2

}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列递推式,数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（1）由数列递推式求得a₁=3，再由数列递推式得当n≥2时4a n-1-3Sn-1=

1

3

(22n-1+1)，和原递推式作差得到数列{

an

4n

}是以

1

2

为公差的等差数列，由等差数列的通项公式得答案；
（2）由（1）得

an

2n-2

=(2n+1)2n，然后利用错位相减法求其前n项和T_n．

解答： 解：（1）当n=1时，4a1-3S1=

1

3

(23+1)，得a₁=3，
当n≥2时，由4a n-3Sn=

1

3

(22n+1+1)  ①，
得4a n-1-3Sn-1=

1

3

(22n-1+1)  ②，
①-②得：4a n-4an-1-3an=22n-1，
即an=4an-1+22n-1，化为

an

4n

=

an-1

4n-1

+

1

2

，即

an

4n

-

an-1

4n-1

=

1

2

．
∴数列{

an

4n

}是以

3

4

为首项，以

1

2

为公差的等差数列，
则

an

4n

=

3

4

+(n-1)×

1

2

=

n

2

+

1

4

，

an

4n

=

1

2

n+

1

4

；
（2）由（1）得：

an

2n-2

=(2n+1)2n，
Tn=3•2+5•22+7•23+…+(2n-1)•2n-1+(2n+1)•2n，
2•Tn=3•22+5•23+7•24+…+(2n-1)•2n+(2n+1)•2n+1，
-Tn=6+23+24+…+2n+1-(2n+1)•2n+1，
∴Tn=n•2n+2+1．

点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．