Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知a²-c²=b（b-c）．
（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin（x-A）+sinx-m，若函数f（x）在[0，π]上有零点，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理

专题：计算题,三角函数的图像与性质,解三角形

分析：（Ⅰ）化简已知可得a²=c²+b²-bc，结合余弦定理可得cosA=

1

2

，又A为三角形内角，从而可求得A．
（Ⅱ）化简可得解析式：f（x）=

3

sin（x-

π

6

）-m，由x∈[0，π]，可得

3

sin（x-

π

6

）∈[-

3

2

，

3

]，由函数f（x）在[0，π]上有零点，即

3

sin（x-

π

6

）-m=0在[0，π]上有解．即可解得m的范围．

解答： 解：（Ⅰ）∵a²-c²=b（b-c），
∴a²=c²+b²-bc，
∵由余弦定理可得：a²=c²+b²-2bccosA，
∴可解得：cosA=

1

2

，
又∵A为三角形内角，0＜A＜π，
∴A=

π

3

．
（Ⅱ）由题意可得：f（x）=sin（x-

π

3

）+sinx-m=

3

sin（x-

π

6

）-m，
∵x∈[0，π]，可得x-

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴

3

sin（x-

π

6

）∈[-

3

2

，

3

]，
∵函数f（x）在[0，π]上有零点，即

3

sin（x-

π

6

）-m=0在[0，π]上有解．
∴可解得：-

3

2

≤m≤

3

．

点评：本题主要考查了余弦定理，两角差的正弦公式，三角函数值域的解法，考查了转化思想，属于中档题．