Question

已知二项式（x+a）⁴（a＞0）的展开式中x的系数为

75

8

．
（1）求a的值
（2）若（xcosθ+1）⁵的展开式中x²的系数与（x+a）⁴的展开式中x³的系数相等，求cos2θ的值．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：（1）在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于1，求出r的值，即可求得展开式中x的系数，再根据展开式中x的系数为

75

8

，求得a的值．
（2）由题意利用二项展开式的通项公式可得

C

3 5

•cos²θ=

C

2 4

•a²=6•

3 150

4

，求得cos²θ 的值，可得cos2θ=2cos²θ-1的值．

解答： 解：（1）二项式（x+a）⁴（a＞0）的展开式的通项公式为T_r+1=

C

r 4

•x^4-r•a^r，
令4-r=1，求得r=3，可得展开式中x的系数为4a³=

75

8

，a=

3 150

4

．
（2）由题意可得

C

3 5

•cos²θ=

C

2 4

•a²=6•

3 150

4

，∴cos²θ=

3• 3 150

20

，
∴cos2θ=2cos²θ-1=

3• 3 150 -10

10

．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，二倍角的余弦公式，属于基础题．