Question

在平面直角坐标系xOy中，已知E：（x+

3

）²+y²=16，点F（

3

，0），点P是圆E上任意一点，线段PF的垂直平分线和半径PE相交于点Q．记动点Q的轨迹为C，另有动点M（x，y）（x≥0）到点N（2，0）的距离比它到直线x=-1的距离多1，记点M的轨迹为C₁，轨迹C₂的方程为x²=y
（1）求轨迹C和C₁的方程
（2）已知点T（-1，0），设轨迹C₁与C₂异于原点O的交点为R，若懂直线l与直线OR垂直，且与轨迹C交于不同的两点A、B，求

TA

•

TB

的最小值
（3）在满足（2）中的条件下，当

TA

•

TB

取得最小值时，求△TAB的面积．

Answer 1

考点：轨迹方程,平面向量数量积的运算,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（1）根据题意可得|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，由椭圆定义可得点Q的轨迹C的方程为

x2

4

+y2=1．
直接由抛物线定义可得动点M（x，y）的轨迹C₁是以N（2，0）为焦点，以直线x=-2为准线的抛物线，则抛物线轨迹方程可求；
（2）联立两抛物线方程求得R（2，4），写出动直线l的方程，联立直线方程与椭圆方程，化为关于x的一元二次方程后由判别式大于0求得m的范围，利用根与系数的关系得到A，B两点横坐标的和与积，把

TA

•

TB

转化为含m的代数式由二次函数求最值；
（3）把m=-

2

5

代入x1+x2=2m，x1x2=2m2-2，得x1+x2=-

4

5

，x1x2=-

42

25

．由弦长公式求得|AB|，再由点到直线的距离公式求得T到直线l的距离，代入三角形的面积公式得答案．

解答： 解：（1）如图，
连结QF，根据题意，|QP|=|QF|，则|QE|+|QF|=|QE|+|QP|=4＞|EF|=2

3

，
故动点Q的轨迹C是以E，F为焦点，长轴长为4的椭圆，
设其方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0），可知a=2，c=

3

，则b=1，
∴点Q的轨迹C的方程为

x2

4

+y2=1．
∵动点M（x，y）（x≥0）到点N（2，0）的距离比它到直线x=-1的距离多1，
∴动点M（x，y）的轨迹C₁是以N（2，0）为焦点，以直线x=-2为准线的抛物线，
∴轨迹方程为y²=8x；
（2）如图，
联立

y2=8x x2=y

，解得R（2，4），
∴k_OR=2，则可设动直线l的方程为y=-

1

2

x+m，
联立

y=- 1 2 x+m x2 4 +y2=1

，得x²-2mx+2m²-2=0．
由△=（-2m）²-4（2m²-2）=8-4m²＞0，得-

2

＜m＜

2

．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．

TA

=(x1+1，y1)，

TB

=(x2+1，y2)，
∴

TA

•

TB

=（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=x1x2+(x1+x2)+1+(-

1

2

x1+m)(-

1

2

x2+m)
=

5

4

x1x2+(1-

1

2

m)(x1+x2)+1+m2=

5

4

(2m2-2)+(1-

1

2

m)•2m+1+m2
=

1

2

(5m2+4m-3)（-

2

＜m＜

2

），
∴当m=-

2

5

时，

TA

•

TB

有最小值为-

19

10

；
（3）把m=-

2

5

代入x1+x2=2m，x1x2=2m2-2．得x1+x2=-

4

5

，x1x2=-

42

25

．
∴|AB|=

1+(- 1 2 )2

(- 4 5 )2-4(- 42 25 )

=

230

5

．
又T（-1，0）到直线5x+10y+4=0的距离为d=

|-5+4|

125

=

5

25

，
∴△TAB的面积S=

1

2

×

230

5

×

5

25

=

46

50

．

点评：本题考查了圆锥曲线方程的求法，考查了直线与圆锥曲线的位置关系，训练了平面向量数量积在解题中的应用，考查了学生的计算能力，是压轴题．