Question

2．已知函数f（x）的定义域是x≠0的一切实数，对定义域内的任意a，b都有f（a•b）=f（a）+f（b），当x＞1时，f（x）＞0．
（1）证明f（x）是偶函数；
（2）证明f（x）在（0，+∞）上是增函数．

Answer 1

分析 （1）先求出f（1）=f（-1）=0，再令a=x，b=-1得出f（-x）=f（x）；
（2）设x₁＞x₂＞0，则f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂），故f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，得出结论．

解答 证明：（1）令a=b=1得f（1）=2f（1），∴f（1）=0．
令a=b=-1得f（1）=2f（-1）=0，∴f（-1）=0．
令a=x，y=-1得f（-x）=f（x）+f（-1）=f（-x），
∴f（x）是偶函数．
（2）设x₁＞x₂＞0，则f（x₁）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•{x}_{2}$）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）+f（x₂），
∴f（x₁）-f（x₂）=f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$），
∵x₁＞x₂＞0，∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$＞1．
∴f（$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}$）＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0．
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了函数单调性，对称性的证明，属于中档题．