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    在双曲线-=1上支上有不同的三点A(x1,y1)、B(x0,6)、C(x2,y2)与焦点F（0，5）的距离成等差数列.（1）求y1+y2的值；（2）求证：线段AC的中垂线经过某一定点，并求出这个定点坐标.

    思路解析：双曲线上一点与焦点的连线问题，常考虑焦半径比较简单.

    （1）解法一：∵BF==3,|AF|=,又∵A（x1,y1）在双曲线上，∴x12=.∴|AF|2=x12+(y1-5)2=+(y1-5)2=(5y1-12)2,由A、B、C在双曲线的同一支上，即上半支上.∴y1≥2,5y1-12＞0.∴AF=(5y1-12).同理可求得CF=(5y2-12),由于AF+CF=2BF,∴(5y1-12)+(5y2-12)=6.∴y1+y2=12.

    解法二：∵双曲线的实半轴长为a=2，虚半轴b=，半焦距c=5，与焦点F(0,5)对应的准线方程为y=.由双曲线第二定义知，=,

    ∵y1≥2,∴y1-＞0.∴|AF|=(y1-).

    同理CF=·(y1-),|BF|=(6-)=3.

    ∵|AF|+|CF|=2|BF|,∴y1+y2=12.

    解法三：双曲线的离心率e==,|AF|=|ey1-a|=ey1-a,|CF|=|ey2-a|=ey2-a,|BF|=×6-2=3，又∵|AF|+|CF|=2|BF|=6，

    ∴e(y1+y2)-2a=6.∴y1+y2=12.

    （2）证明：线段AC中点M(,6),kAC=,∴线段AC的垂直平分线方程为y-6=(x-)=x-.                                 ①

    ∵-=1,-=1,两式相减,得x12-x22=(y12-y22),

    又∵y1+y2=12,∴x12-x22=13(y1-y2).代入①,

    得y-6=x+ .

    ∴y-=x.∴恒过点(0,).


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