Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）过点A ，离心率为 ，点F1 ， F2分别为其左右焦点．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆C恒有两个交点P，Q，且 ？若存在，求出该圆的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意得： ，得b=c，因为 ，

得c=1，所以a2=2，

所以椭圆C方程为

（2）解：假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1）

当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，

由 得（1+2k2）x2+4bkx+2b2﹣2=0，

令P（x1，y1），Q（x2，y2），

，

∵ ，∴x1x2+y1y2=0．

∴ ，

∴3b2=2k2+2

因为直线PQ与圆相切，∴ =

所以存在圆

当直线PQ的斜率不存在时，也适合x2+y2= ．

综上所述，存在圆心在原点的圆x2+y2= 满足题意

【解析】（1）由离心率，推出b=c，利用椭圆经过的点的坐标，代入椭圆方程，求出a、b，即可得到椭圆C方程．（2）假设满足条件的圆存在，其方程为：x2+y2=r2（0＜r＜1），当直线PQ的斜率存在时，设直线方程为y=kx+b，联立方程组，令P（x1 ， y1），Q（x2 ， y2），利用韦达定理，结合x1x2+y1y2=0．推出3b2=2k2+2，利用直线PQ与圆相切，求出圆的半径，得到圆的方程，判断当直线PQ的斜率不存在时的圆的方程，即可得到结果．
【考点精析】本题主要考查了椭圆的标准方程的相关知识点，需要掌握椭圆标准方程焦点在x轴：，焦点在y轴：才能正确解答此题．