Question

【题目】已知奇函数f（x）=ax+ka-x，（a＞0且a≠1，k∈R）．

（1）求实数k的值；

（2）是否存在实数a，使函数y=（f（x）+2）ax在[-1，1]上的最大值为7？

Answer 1

【答案】（1）k=-1（2）存在a=或a=2,使函数y=（f（x）+2）ax在[-1，1]上的最大值为7

【解析】

（1）f（x）=ax+ka-x为奇函数，则f（0）=1+k=0，进而求解；

（2）由（1）知y=（f（x）+2）ax=（ax）2+2ax-1，设ax=t，（t＞0），则g（t）=t2+2t-1进而求解．

解：（1）f（x）=ax+ka-x为奇函数，则f（0）=1+k=0，解得k=-1；

（2）由（1）知f（x）=ax-a-x，y=（f（x）+2）ax=（ax-a-x+2）ax=（ax）2+2ax-1，

设ax=t，（t＞0），则g（t）=t2+2t-1，令g（t）=7，即t2+2t-1=7，解得t=2或t=-4（舍）

∴ax=2，若0＜a＜1，则y=ax在[-1，1]为减函数，∴a=；若a＞1，则y=ax在[-1，1]为增函数，∴a=2；

综上，存在a=或a=2使函数y=（f（x）+2）ax在[-1，1]上的最大值为7．