【题目】已知函数y=f(x)是定义在(0,+∞)上的递增函数,对于任意的x>0,y>0,都有f(xy)=f(x)+f(y),且满足f(2)=1.
(1)求f(1),f(4)的值;
(2)求满足f(2)+f(x-3)≤2的x的取值范围.
【答案】(1)f(1)=0,f(4)=2;(2)(3,5].
【解析】试题分析:(1)令x=y=1,和令x=y=2即可得解;
(2)由函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调递增函数f(2)+f(x-3)≤2即为f(2(x-3))≤f(4),可得,即可得解.
试题解析:
(1)令x=y=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,
令x=y=2,得f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2,所以f(4)=2.
(2)由f(2)=1及f(xy)=f(x)+f(y)可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(4).
因为f(2)+f(x-3)≤2.
所以f(2(x-3))≤f(4).
又函数f(x)在定义域(0,+∞)上是单调递增函数,
所以解得3<x≤5.
即x的取值范围为(3,5].
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【题目】已知p:x∈A={x|x2﹣2x﹣3≤0,x∈R},q:x∈B={x|x2﹣2mx+m2﹣9≤0,x∈R,m∈R}.
(1)若A∩B=[1,3],求实数m的值;
(2)若p是q的充分条件,求实数m的取值范围.
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【题目】下列说法:
①将一组数据中的每个数据都加上或减去同一个常数后,均值与方差都不变;
②设有一个回归方程,变量x增加一个单位时,y平均增加3个单位;
③线性回归方程必经过点;
④在吸烟与患肺病这两个分类变量的计算中,从独立性检验知,有99%的把握认为吸烟与患肺病有关系时,我们说现有100人吸烟,那么其中有99人患肺病.其中错误的个数是( )
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
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【题目】设函数f(x)=log2x- (0<x<1),数列{an}满足f(2an)=2n(n∈N*).
(1) 求数列{an}的通项公式;
(2) 判断数列{an}的单调性.
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【题目】某公司在迎新年晚会上举行抽奖活动,有甲、乙两个抽奖方案供员工选择;
方案甲:员工最多有两次抽奖机会,每次抽奖的中奖率为.第一次抽奖,若未中奖,则抽奖结束.若中奖,则通过抛一枚质地均匀的硬币,决定是否继续进行第二次抽奖,规定:若抛出硬币,反面朝上,员工则获得500元奖金,不进行第二次抽奖;若正面朝上,员工则须进行第二次抽奖,且在第二次抽奖中,若中奖,获得奖金1000元;若未中奖,则所获奖金为0元.
方案乙:员工连续三次抽奖,每次中奖率均为,每次中奖均可获奖金400元.
(1)求某员工选择方案甲进行抽奖所获奖金(元)的分布列;
(2)某员工选择方案乙与选择方案甲进行抽奖,试比较哪个方案更划算?
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【题目】(本小题12分)根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.某城市环保部门随机抽取了一居民区去年20天PM2.5的24小时平均浓度的监测数据,数据统计如下:
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组别 | PM2.5浓度(微克/立方米) | 频数(天) | 频率 |
第一组 | 3 | 0.15 | |
第二组 | 12 | 0.6 | |
第三组 | 3 | 0.15 | |
第四组 | 2 | 0.1 |
(Ⅰ)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的5天中,随机抽取2天,求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;
(Ⅱ)求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境是否需要改进?说明理由.
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