Question

16．已知向量（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$）且（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），求向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$的夹角θ．

Answer 1

分析 向量（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$）且（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），可得$7{\overrightarrow{a}}^{2}+16\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-15{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，$7{\overrightarrow{a}}^{2}-30\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+8${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，化为$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|cosθ$，代入$7{\overrightarrow{a}}^{2}+16\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-15{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，解出即可．

解答 解：∵向量（$\overrightarrow{a}$+3$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-5$\overrightarrow{b}$）且（$\overrightarrow{a}$-4$\overrightarrow{b}$）⊥（7$\overrightarrow{a}$-2$\overrightarrow{b}$），
∴$7{\overrightarrow{a}}^{2}+16\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-15{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
$7{\overrightarrow{a}}^{2}-30\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+8${\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
∴$2|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|cosθ$=$|\overrightarrow{b}{|}^{2}$，
化为$|\overrightarrow{b}|=2|\overrightarrow{a}|cosθ$，代入$7{\overrightarrow{a}}^{2}+16\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}-15{\overrightarrow{b}}^{2}$=0，
化为：$7|\overrightarrow{a}{|}^{2}$+16$|\overrightarrow{a}|×2|\overrightarrow{a}|co{s}^{2}θ$-$15×4|\overrightarrow{a}{|}^{2}$cos²θ，
∴$cosθ=±\frac{1}{2}$，
∴θ=$\frac{π}{3}$或$\frac{2π}{3}$．

点评 本题考查了数量积的定义及其运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．