Question

已知数列{a_n}的首项a₁=1，前n项和为S_n，a_n+1=2S_n+1，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=log₃a_n+1，求数列{

bn

an

}的前n项和T_n，并证明：1≤T_n＜

9

4

．

Answer 1

考点：数列与不等式的综合

专题：不等式的解法及应用

分析：（1）根据数列的项和和之间的关系，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）求出b_n=log₃a_n+1的通项公式，利用错位相减法即可求数列{

bn

an

}的前n项和T_n，并证明：1≤T_n＜

9

4

．

解答： 解：（1）由题意得a_n+1=2S_n+1，a_n=2S_n-1+1，n≥2，
两式相减得a_n+1-a_n+1=2S_n-2S_n-1=a_n+1=2a_n，
则a_n+1=3a_n，n≥2，
所以当n≥2时，{a_n}是以3为公比的等比数列．
因为a₂=2S₁+1=2+1=3，

a2

a1

=3，
所以，

an+1

an

=3，对任意正整数成立　{a_n}是首项为1，公比为3的等比数列．
（2）由（1得知a_n=3^n-1，b_n=log₃a_n+1=log₃3ⁿ=n，

bn

an

=

n

3n-1

=n•（

1

3

）^n-1，
T_n=1+2×

1

3

+3•（

1

3

）²+…+n•（

1

3

）^n-1      ①

1

3

T_n=

1

3

+2•（

1

3

）²+…+（n-1）•（

1

3

）^n-1+n•（

1

3

）ⁿ    ②
①-②得

2

3

T_n=1+

1

3

+（

1

3

）²+…+（

1

3

）^n-1-n•（

1

3

）ⁿ=

1-( 1 3 )n

1- 1 3

-n•（

1

3

）ⁿ，
所以T_n=

9

4

-（

9

4

+

3

2

n）•（

1

3

）ⁿ，
因为（

9

4

+

3

2

n）•（

1

3

）ⁿ＞0，
所以T_n=

9

4

-（

9

4

+

3

2

n）•（

1

3

）ⁿ＜

9

4

，
又因为T_n+1-T_n=

n+1

3n

＞0，所以数列{T_n}单调递增，所以T_n的最小值为T₁=1，
所以1≤T_n＜

9

4

．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及数列求和，利用错位相减法是解决本题的关键，综合性较强，运算量较大．