Question

19．设函数f（x）=e^xlnx+$\frac{2{e}^{x-1}}{x}$，证明f（x）＞1．

Answer 1

分析 根据函数f（x0的定义域为（0，+∞），得到函数在定义域内的最小值为1，则答案得证．

解答 证明：∵f（x）=e^xln x+$\frac{2}{x}$e^x-1，
从而f（x）＞1等价于xln x＞xe^-x-$\frac{2}{e}$．
设函数g（x）=xln x，
则g′（x）=1+ln x，
所以当x∈（0，$\frac{1}{e}$）时，g′（x）＜0；
当x∈（$\frac{1}{e}$，+∞）时，g′（x）＞0．
故g（x）在（0，$\frac{1}{e}$）上单调递减，在（$\frac{1}{e}$，+∞）上单调递增，
从而g（x）在（0，+∞）上的最小值为g（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．
设函数h（x）=xe^-x-$\frac{2}{e}$，则h′（x）=e^-x（1-x）．
所以当x∈（0，1）时，h′（x）＞0；
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0．
故h（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，
从而h（x）在（0，+∞）上的最大值为h（1）=-$\frac{1}{e}$；
因为g_min（x）=h（1）=h_max（x），
所以当x＞0时，g（x）＞h（x），即f（x）＞1．

点评 本题考查了导数的应用，考查函数的单调性问题，考查了利用导数求函数的最值，是中高档题．