Question

11．在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC=BC，点D在线段AB上，且平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁．
（1）确定点D的位置并证明；
（2）证明：AC₁∥平面B₁CD．

Answer 1

分析 （1）D为AB的中点，可通过CD⊥AB，CD⊥BB₁得出CD⊥平面ABB₁A₁，故而平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁；
（2）连结BC₁，交B₁C于M，连接MD．则MD为△ABC₁的中位线，故而MD∥AC₁，于是AC₁∥平面B₁CD．

解答 解：（1）D为AB的中点，
证明如下：
∵AC=BC，D是AB的中点，
∴CD⊥AB，
∵BB₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴BB₁⊥CD，又AB?平面ABB₁A₁，BB₁?平面ABB₁A₁，AB∩BB₁=B，
∴CD⊥平面ABB₁A₁，又CD?平面B₁CD，
∴平面B₁CD⊥平面ABB₁A₁．
（2）连结BC₁，交B₁C于M，连接MD．
∵四边形BCC₁B₁是矩形，
∴M是BC₁的中点，又D是AB的中点，
∴MD∥AC₁，
又MD?平面B₁CD，AC₁?平面B₁CD，
∴AC₁∥平面B₁CD．

点评 本题考查了面面垂直的判定定理，线面平行的判定定理，属于中档题．