Question

3．在斜三棱柱ABC-A₁B₁C₁中BC⊥CC₁，AC=BC=2，A₁在底面ABC上的射影恰为AC的中点D．
（1）证明：BC⊥平面ACC₁A₁
（2）若二面角A-A₁B-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由已知可得A₁D⊥平面ABC，进一步得A₁D⊥BC，再由BC⊥CC₁，得BC⊥AA₁，然后利用线面垂直的判定得答案；
（2）利用线面垂直的性质可得BC⊥AC，以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过C与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，设A₁D=a，得A，A₁，B，C₁ 的坐标，然后求出平面AA₁B与平面A₁BC的一个法向量，再求出两个法向量所成角的余弦值，进一步得到二面角A-A₁B-C的余弦值．

解答 （1）证明：由已知得，A₁D⊥平面ABC，又BC?平面ABC，∴A₁D⊥BC，
∵BC⊥CC₁，CC₁∥AA₁，∴BC⊥AA₁，又A₁D∩AA₁=A₁，
∴BC⊥平面ACC₁A₁；
（2）解：由（1）及AC?平面ACC₁A₁，得BC⊥AC，
以C为原点，CA、CB所在直线分别为x、y轴，过C与平面ABC垂直的直线为z轴建立如图所示空间直角坐标系C-xyz，
设A₁D=a，则A（2，0，0），A₁（1，0，a），B（0，2，0），C₁（-1，0，a），
∴$\overrightarrow{{A}_{1}B}=（-1，2，-a）$，$\overrightarrow{A{C}_{1}}=（-3，0，a）$，
又由已知得$\overrightarrow{{A}_{1}B}•\overrightarrow{A{C}_{1}}=0$，∴3-a²=0，得a=$\sqrt{3}$，
∴$\overrightarrow{A{A}_{1}}=（-1，0，\sqrt{3}）$，$\overrightarrow{AB}=（-2，2，0）$，
设平面AA₁B的法向量$\overrightarrow{n}=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{A{A}_{1}}=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AB}=0}\end{array}\right.$，∴$\left\{\begin{array}{l}{-x+\sqrt{3}z=0}\\{-2x+2y=0}\end{array}\right.$，令z=$\sqrt{3}$，则x=y=3．
∴$\overrightarrow{n}=（3，3，\sqrt{3}）$，
平面A₁BC的法向量$\overrightarrow{k}=（\sqrt{3}，0，-1）$，
∴cos＜$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{k}$＞=$\frac{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{k}}{|\overrightarrow{n}||\overrightarrow{k}|}=\frac{2\sqrt{3}}{2\sqrt{21}}=\frac{\sqrt{7}}{7}$．
∴二面角A-A₁B-C的余弦值为-$\frac{\sqrt{7}}{7}$．

点评 本题考查直线与平面垂直的判断，考查了利用空间向量求二面角的平面角，考查计算能力，是中档题．