Question

1．设向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为135°，且$|\overrightarrow a|=\sqrt{2}，|\overrightarrow b|=2$；
（1）求$\overrightarrow a•\overrightarrow b$的值；
（2）设$\overrightarrow c=x\overrightarrow a-\overrightarrow b（x∈R）$，当$|\overrightarrow c|$取得最小值时，求向量$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$夹角的大小．

Answer 1

分析 （1）根据向量的数量积运算即可，
（2）根据向量的模和二次函数的性质求出x的值，再根据向量的夹角的公式计算即可．

解答 解：（1）∵向量$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为135°，且$|\overrightarrow a|=\sqrt{2}，|\overrightarrow b|=2$，
∴$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$=|$\overrightarrow{a}$|•|$\overrightarrow{b}$|•cos135°=$\sqrt{2}$×2×（-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）=-2，
（2）设$\overrightarrow c=x\overrightarrow a-\overrightarrow b（x∈R）$，
∴|$\overrightarrow{c}$|²=x²${\overrightarrow{a}}^{2}$-2x$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=2x²+4x+4=2（x+1）²+2≥2，当且仅当x=-1时取等号，
∴$\overrightarrow{c}$=$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$，
∴$\overrightarrow{c}$•$\overrightarrow{b}$=$\overrightarrow{b}$（$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$）=$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow{b}$+${\overrightarrow{b}}^{2}$=-2+4=2
当$|\overrightarrow c|$取得最小值为$\sqrt{2}$，
设向量$\overrightarrow c$与$\overrightarrow b$夹角为θ，
∴cosθ=$\frac{\overrightarrow{c}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{c}|•|\overrightarrow{b}|}$=$\frac{2}{2×\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵0°≤θ≤180°，
∴θ=45°

点评 本题主要考查两个向量的数量积的定义以及向量的夹角公式，求向量的模的方法，属于中档题．