Question

若AB是椭圆

x2

25

+

y2

100 9

=1的任一条直径（过原点O的弦），点M是椭圆上的动点，且直线AM、BM的斜率都存在，证明：直线AM、BM的斜率之积为-

4

9

．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：利用椭圆的参数方程，可设M（5sinx，

10

3

cosx），A（5sinθ，

10

3

cosθ），B（-5sinθ，-

10

3

cosθ），即可求得k_AM•k_BM=-

4

9

．

解答： 证明：由题意可设M（5sinx，

10

3

cosx），A（5sinθ，

10

3

cosθ），B（-5sinθ，-

10

3

cosθ），则
k_AM•k_BM=

10 3 (cosx-cosθ)

5(sinx-sinθ)

•

10 3 (cosx+cosθ)

5(sinx+sinθ)

=

4

9

•

cos2x-cos2θ

sin2x-sin2θ

=

4

9

•

1-sin2x-(1-sin2θ)

sin2x-sin2θ

=

4

9

•

sin2θ-sin2x

sin2x-sin2θ

=-

4

9

．

点评：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，合理利用椭圆的参数方程设点的坐标，可以简化计算，属于中档题．