Question

（1）函数y=x

1

3

(1-x)

2

3

的单调区间，并求极值；
（2）求函数y=4x³+3x²-36x+5在区间[-2，2]上的最大值与最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：导数的综合应用

分析：（1）求导，利用导数判断函数的单调性求得极值；
（2）利用导数的正负，可得函数y=4x³+3x²-36x+5在区间[-2，2]上的单调性，即可求出极值，然后求区间端点处的函数值，进行大小比较即可．

解答： 解：（1）∵y=x

1

3

(1-x)

2

3

，
∴y′=

1

3

x-

2

3

(1-x)-

1

3

（1-3x），
∴由y′＞0得，x＜

1

3

或x＞1，
由y′＜0得，

1

3

＜x＜1，
∴函数的单调递增区间是（-∞，

1

3

），（1，+∞）；单调递减区间是（

1

3

，1），
∴当x=

1

3

时，函数有极大值为

3 4

3

，
当x=1时，函数有极小值为0．
（2）f′（x）=12x²+6x-36=6（x+2）（2x-3），
令f′（x）=0，得x=-2或

3

2

，
所以函数在（-∞，-2），（

3

2

，+∞）上单调递增，在（-2，

3

2

）上单调递减，
因为f（-2）=-32+12+72+5=57，f（

3

2

）=-

115

4

，f（2）=-23，
所以f（x）在区间[-2，2]上的最大值为57，最小值为-

115

4

．

点评：本题考查利用导数研究函数单调性求函数单调极值及求函数在闭区间上的最值问题，属中档题．