Question

已知首项为

3

2

的等比数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），且-2S₂，S₃，4S₄成等差数列，则Sn+

1

Sn

的最大值为

 

．

Answer 1

考点：等比数列的性质

专题：计算题,等差数列与等比数列

分析：由题意得2S₃=-2S₂+4S₄，变形为S₄-S₃=S₂-S₄，进而求出公比q的值，代入求出，Sn+

1

Sn

=1-(-

1

2

)n+

1

1-(- 1 2 )n

，再对n分类进行化简，判断出S_n随n的变化情况，再分别求出最大值，即可得出结论．

解答： 解：设等比数列{a_n}的公比为q，
∵-2S₂，S₃，4S₄等差数列，
∴2S₃=-2S₂+4S₄，即S₄-S₃=S₂-S₄，
得2a₄=-a₃，∴q=-

1

2

，
∵首项为

3

2

，
∴Sn+

1

Sn

=1-(-

1

2

)n+

1

1-(- 1 2 )n

，
当n为奇数时，Sn+

1

Sn

=2+

1

2n(2n+1)

，
当n为偶数时，Sn+

1

Sn

=2+

1

2n(2n-1)

，
∴Sn+

1

Sn

随着n的增大而减小，
即Sn+

1

Sn

≤

13

6

，且Sn+

1

Sn

≤

25

12

，
综上，有Sn+

1

Sn

的最大值为

13

6

．
故答案为：

13

6

．

点评：本题考查了等差（等比）数列的概念、通项公式和前n项和公式，以及数列的基本性质等，考查了分类讨论的思想、运算能力、分析问题和解决问题的能力．