Question

(本题满分12分，第Ⅰ小题4分，第Ⅱ小题5分，第Ⅲ小题3分)
如图，是直角梯形，∠＝90°，∥，＝1，＝2，又＝1，∠＝120°，⊥，直线与直线所成的角为60°.
（Ⅰ）求证：平面⊥平面;
（Ⅱ）求二面角的大小;
（Ⅲ）求三棱锥的体积.

Answer 1

(Ⅰ)略 (Ⅱ)   （Ⅲ）

解法一：
（Ⅰ）∵
∴，又∵∴…（4分）
（Ⅱ）取的中点，则，连结，
∵，∴，从而
作，交的延长线于，连结，则由三垂线定理知，，
从而为二面角的平面角
直线与直线所成的角为   ∴
在中，由余弦定理得
在中，
在中，
在中，
故二面角的平面角大小为…（9分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，为正方形
∴……（12分）
解法二：（Ⅰ）同解法一…（4分）
（Ⅱ）在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）
由题意有，设，
则
由直线与直线所成的解为，得
，即，解得
∴，设平面的一个法向量为，
则，取，得
平面的法向量取为，设与所成的角为，则
显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的平面角大小为
（Ⅲ）取平面的法向量取为，则点A到平面的距离
∵，∴…（12分）