Question

12．已知函数f（x）在（0，+∞）上有意义，且单调递增，若f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y）
（1）求f（1）f（4）的值；
（2）若f（x）+f（x+3）≤2．求实数x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）令x=y=1即求得f（1）=0；令x=y=2即求得f（4）=2；
（2）依题意，可求f（x（x+3））≤f（4），利用函数的定义域为（0，+∞），且单调递增，即可求得x的取值范围．

解答 解：（1）∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=1，
则f（1）=f（1）+f（1），
∴f（1）=0
令x=y=2，
则f（4）=f（2）+f（2），
又f（2）=1，
∴f（4）=1+1=2，
∴f（1）f（4）=0；
（2）∵f（x+3）+f（x）≤2，
∴f（x²+3x）≤f（4），
∵y=f（x）在（0，+∞）上有意义，且单调递增，
∴x²+3x≤4，
解得0＜x≤1．
故x的取值范围是（0，1]．

点评 本题考查抽象函数及其应用，着重考查赋值法即函数单调性的性质，考查解不等式组的能力，属于中档题．