Question

16．已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量$\overrightarrow m=（cosB，2{cos^2}\frac{C}{2}-1）$，$\overrightarrow n=（c，b-2a）$且$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$．
（1）求角C的大小；
（2）若△ABC的面积为$2\sqrt{3}$，a+b=6，求c．

Answer 1

分析 （1）由已知利用平面向量数量积，三角函数恒等变换的应用化简可得sinA=2sinAcosC，由sinA≠0，可求$cosC=\frac{1}{2}$，结合范围C∈（0，π），可求C的值．
（2）利用三角形面积公式可求ab=8，进而利用余弦定理可求c的值．

解答 解：（1）∵由已知可得：$\overrightarrow m=（cosB，cosC）$，$\overrightarrow n=（c，b-2a）$，$\overrightarrow m•\overrightarrow n=0$，
∴ccosB+（b-2a）cosC=0，
∴sinCcosB+（sinB-2sinA）cosC=0，即sinA=2sinAcosC，
又∵sinA≠0，
∴$cosC=\frac{1}{2}$，
又∵C∈（0，π），
∴$C=\frac{π}{3}$．
（2）∵${S_{△ABC}}=\frac{1}{2}absinC=2\sqrt{3}$，
∴ab=8，
又c²=a²+b²-2abcosC，即（a+b）²-3ab=c²，
∴c²=12，
故$c=2\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了平面向量数量积，三角函数恒等变换的应用，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．