Question

4．已知函数f（x）=$\frac{1}{e}•{e^x}+\frac{a}{2}{x^2}$-（a+1）x+a（a＞0），其中e为自然对数的底数．若函数y=f（x）与y=f[f（x）]有相同的值域，则实数a的最大值为（　　）

• A． e
• B． 2
• C． 1
• D． $\frac{e}{2}$

Answer 1

分析 求出函数的导数，得到函数f（x）的值域，问题转化为即[1，+∞）⊆[$\frac{a}{2}$，+∞），得到关于a的不等式，求出a的最大值即可．

解答 解：f（x）=$\frac{1}{e}•{e^x}+\frac{a}{2}{x^2}$-（a+1）x+a（a＞0），
f′（x）=$\frac{1}{e}$•e^x+ax-（a+1），a＞0，
则x＜1时，f′（x）＜0，f（x）递减，
x＞1时，f′（x）＞0，f（x）递增，
而x→+∞时，f（x）→+∞，f（1）=$\frac{a}{2}$，
即f（x）的值域是[$\frac{a}{2}$，+∞），恒大于0，
而f[f（x）]的值域是[$\frac{a}{2}$，+∞），
则要求f（x）的范围包含[1，+∞），
即[1，+∞）⊆[$\frac{a}{2}$，+∞），
故$\frac{a}{2}$≤1，解得：a≤2，
故a的最大值是2，
故选：B．

点评 本题考查了函数的单调性、值域问题，考查导数的应用以及转化思想，考查集合的包含关系，是一道中档题．