Question

7．数列{a_n}和{b_n}中，a_n，b_n，a_n+1成等差数列，$\sqrt{{b}_{n}}$，$\sqrt{{a}_{n+1}}$，$\sqrt{{b}_{n+1}}$成等比数列，且a₁=0，b₁=1，设c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$，求数列{c_n}的通项公式．

Answer 1

分析 通过2b_n=a_n+a_n+1、a_n+1=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$及a₁=0、b₁=1写成前几项的值，并猜想a_n=n（n-1）、b_n=n²，利用数学归纳法证明即可．

解答 解：依题意，2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1=$\sqrt{{b}_{n}{b}_{n+1}}$，
∴a₂=2，b₂=4，a₃=6，b₃=9，a₄=12，b₄=16，
猜想：a_n=n（n-1），b_n=n²．
下面用数学归纳法证明：
①当n=1时，显然成立；
②假设当n=k（k≥2）时，有：a_k=k（k-1），b_k=k²．
∵2b_k=a_k+a_k+1，
∴a_k+1=2b_k-a_k=2k²-k（k-1）=k（k+1），
∵a_k+1=$\sqrt{{b}_{k}{b}_{k+1}}$，
∴b_k+1=$\frac{{{a}_{k+1}}^{2}}{{b}_{k}}$=$\frac{{k}^{2}（k+1）^{2}}{{k}^{2}}$=（k+1）²，
即当n=k+1时结论也成立；
由①、②可知a_n=n（n-1），b_n=n²．
∴c_n=$\frac{{a}_{n}}{{b}_{n}}$=$\frac{n（n-1）}{{n}^{2}}$=$\frac{n-1}{n}$，
∴数列{c_n}的通项公式c_n=$\frac{n-1}{n}$．

点评 本题考查数列的通项，考查数学归纳法，注意解题方法的积累，属于中档题．