Question

2．如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为矩形，E为PC的中点，且$PD=AD=\frac{1}{2}AB=4$．
（1）过点A作一条射线AG，使得AG∥BD，求证：平面PAG∥平面BDE；
（2）若点F为线段PC上一点，且DF⊥平面PBC，求四棱锥F-ABCD的体积．

Answer 1

分析 （1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，连接OE，则O是AC的中点，从而OE∥PA，进而PA∥平面BDE，由AG∥BD，得AG∥平面BDE，由此能证明平面PAG∥平面BDE．
（2）由DF⊥PC，过F作FK∥PD，交CD于K，则FK⊥底面ABCD，由此能求出四棱锥F-ABCD的体积．

解答 证明：（1）在矩形ABCD中，连结AC和BD交于点O，
连接OE，则O是AC的中点，
∵E是PC的中点，∴OE是△PAC的中位线，∴OE∥PA，
又OE?平面BDE，PA?平面BDE，
∴PA∥平面BDE，
又AG∥BD，同理得AG∥平面BDE，
∵PA∩AG=A，∴平面PAG∥平面BDE．
解：（2）∵DF⊥平面PBC，∴DF⊥PC．
在Rt△PDC中，∵PD=4，CD=8，∴$PC=4\sqrt{5}$，
∴DF=$\frac{4×8}{4\sqrt{5}}$=$\frac{8\sqrt{5}}{5}$，∴FC=$\sqrt{C{D}^{2}-D{F}^{2}}$=$\frac{16\sqrt{5}}{5}$，∴$\frac{FC}{PC}$=$\frac{4}{5}$，
过F作FK∥PD，交CD于K，则FK=$\frac{4}{5}×4=\frac{16}{5}$，
∵PD⊥底面ABCD，∴FK⊥底面ABCD，
∴${V_{F-ABCD}}=\frac{1}{3}×\frac{16}{5}×4×8=\frac{512}{15}$．

点评 本题考查面面平行的证明，考查四棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．